Hesaplamalı Matematikte Python’un Sınırları ve JAX ile Genişletilmesi: Harmonik Sayılar Üzerine Bir Uygulama

Bu çalışma, harmonik serilerin hesaplanmasında geleneksel saf Python tabanlı bir yaklaşım ile modern JAX kütüphanesine dayalı bir yaklaşımın performans, ölçeklenebilirlik ve verimlilik açısından karşılaştırılmasını sunmaktadır. Harmonik seri ve matematiksel analizde önemli bir yere sahip olan ıraksak bir seridir. Hesaplamalı matematikte bu tür serilerin etkin bir şekilde değerlendirilmesi, özellikle büyük veri ve yüksek hassasiyet gerektiren uygulamalarda kritik öneme sahiptir. Geleneksel saf Python yaklaşımı, fractions.Fraction sınıfını kullanarak kesin aritmetik sağlar ve kodun okunabilirliğini ve doğruluğunu artırır. Ancak, bu yöntem büyük n değerleri için doğrusal zaman karmaşıklığına sahip olup, tekrarlı hesaplamalar yapıldığında performans açısından sınırlıdır. Ayrıca, bellek kullanımı ve işlem süresi, n arttıkça doğrusal olarak büyür. Buna karşılık, JAX tabanlı yaklaşım (Oresmej modülü), yüksek performanslı bilimsel hesaplama için tasarlanmış bir kütüphane olan JAX'ın vektörleştirme (vmap), sadece ihtiyaç duyulduğunda derleme (jit) ve otomatik gradyan hesaplama gibi gelişmiş özelliklerinden yararlanır. Bu yaklaşım, özellikle büyük ölçekli ve tekrarlı işlemlerde belirgin bir hız kazancı sağlar. Ayrıca, @lru_cache ile önbellekleme desteklenerek aynı girişler için yeniden hesaplama önlenir. Dönüş değeri tuple olarak tanımlanarak veri bütünlüğü ve önbellek uyumu artırılır. Karşılaştırmalı analiz, mikro-benchmarking teknikleriyle gerçekleştirilmiştir. JAX tabanlı yaklaşım, ısınma sürecinin ardından saf Python'a göre yüzlerce kat daha hızlıdır ve önbellekli fonksiyonlar neredeyse anında sonuç üretir. Bu nedenle, bilimsel araştırmalarda yüksek performans, ölçeklenebilirlik ve sürdürülebilir hesaplama için Cython (Cythonize), Numba, JAX, NumPy, Paralel İşlem (multiprocessing, joblib) tabanlı yaklaşımlar kesinlikle tercih edilmelidir.

Anahtar Kelimeler/Keywords:

Harmonik Seri, Saf Python, JAX, Bilimsel Hesaplama, Performans Karşılaştırması, Önbellekleme, Vektörleştirme, JIT Derleme, Kesin Aritmetik, Sürdürülebilir Kodlama, Yeşil Kodlama, Oresme, Oresmej, Numba, Cython, Cythonize, NumPy, Paralel İşlem, joblib, Iraksak Seriler.